Spazio vettoriale

Sia $V$ un insieme non vuoto. $V$ si dice uno spazio vettoriale su $\mathbb{R}$ se:

1. è un gruppo abelliano $(V, +)$ con elemento neutro $0_V$
2. è dotato di una operazione esterna da $\mathbb{R} \times V \rightarrow V$ che ad ogni coppia $(r,v)$ associa un elemento di $V$ indicato con $rv$ e che verifica:
   1. $r(sv) = (rs)v$ (associativa)
   2. $(r+s)v = rv+sv$ (distributiva)
   3. $r(u+v) = ru+rv$ (distributiva)
   4. $1v = v$ (elemento neutro)

dove $r,s \in \mathbb{R}, v,u \in V$

Se prendiamo quindi $v$ ,$w \in V$ , $r \in \mathbb{R}$ se $V$ è spazio vettoriale allora:

• $(v + w) \in V$
• $rv \in V$