Cambio di base

Esercizio:
$\mathbb{B}$ , $\mathbb{C}$ $\in \mathbb{R}^3$

$$\mathbb{B} = (1,2,1) , (0,1,2) , (0,3,5) \\ \mathbb{C} = (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)$$

Determinare le matrici di cambiamento di base nelle due direzioni.
Soluzione:
$\mathbb{B} \rightarrow \mathbb{C}$ :
Troviamo le immagini della base $\mathbb{B}$ con coordinate in $\mathbb{C}$ :

$$(1,2,1) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) \Rightarrow x=1, y=2, z=1$$

$$(0,1,2) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) \Rightarrow x=0, y=1, z=2$$

$$(0,3,5) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) \Rightarrow x=0, y=3, z=5$$

La matrice associata sarà quindi:

$$D = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 \end{pmatrix}$$

$\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{B}$ :
Avendo la matrice $D$ , la matrice di cambiamento di base $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{B}$ sarà $D^{-1}$ .