Funzioni lineari

Dati due spazi vettoriali $V$ e $W$ , una funzione $L:V \rightarrow W$ si dice lineare se per ogni $v,u \in V, r \in \mathbb{R}$ vale:

1. $L(v+u) = L(v)+L(u)$
2. $L(rv) = rL(v)$

(n.b. Sinonimo di funzione lineare è il termine omomorfismo di spazi vettoriali, mentre se $V$ e $W$ coincidono è detto endomorfismo).
Sia $L:V \rightarrow W$ una funzione lineare tra due spazi vettoriali:

• $L$ trasforma famiglie di vettori indipendenti in famiglie di vettori indipendenti $\Leftrightarrow$
• la controimmagine del vettore $0_{W}$ è costituita dal solo $0_{V}$ $\Leftrightarrow$
• $L$ è iniettiva

Esercizio:

$$f(x,y) = (x-y, x+y+1, 0)$$

Soluzione:

$$f(x+x', y+y') = (x+x'-y-y', x+x'+y+y'+1, 0)$$ (1)

La (1) e la (2) non sono equivalenti quindi la funzione non è lineare.



Esercizio:

$$f(x,y) = (x-y, x+y)$$

Soluzione:

$$f(\alpha x + \beta x', \alpha y + \beta y') = (\alpha x + \beta x', \alpha x + \beta x'+ \alpha y + \beta y')$$ (3)

La (3) e la (4) sono equivalenti quindi la funzione è lineare.