Autovettore, autovalore e autospazio

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$ e $f:V^n\to V^n$ .
Se $v$ è un vettore non nullo in $V$ e $\lambda$ è uno scalare qualsiasi tali che:

$$f(v) = \lambda v$$

allora $v$ è un autovettore della trasformazione $f$ , e $\lambda$ è il suo autovalore. Poiché $f$ è lineare, se $v$ è un autovettore con autovalore $\lambda$ , allora ogni multiplo non nullo di $v$ è anch'esso un autovettore con lo stesso autovalore $\lambda$ :

$$v_2 = \alpha v_1 \Rightarrow f(v_2) = f(\alpha v_1) = \alpha f(v_1) = \alpha \lambda_1 v_1 = \lambda_1 v_2$$

Più in generale, gli autovettori aventi lo stesso autovalore $\lambda$ , insieme al vettore nullo, formano un sottospazio di $V^n$ chiamato l'autospazio relativo all'autovalore $\lambda$ . Sia $f_\lambda$ l'autospazio:

$$f_{\lambda}(x) = f(x) - \lambda i(x)$$

Attraverso $\lambda$ posso trasformare una qualsiasi funzione in una funzione con dimensione del kernel diversa da 0 in quanto:

$$f(v_1) - \lambda_1 i(v_1) = \lambda_1 v_1 - \lambda_1 v_1 = 0_V$$

Avendo $f(x) \rightarrow A$

$$f_t(x) \rightarrow A -tI$$

se $t$ è un autovalore allora: $p(t) =\det(A-tI) = 0$

Se come base della matrice scelgo una base costituita da autovettori posso usarla per ottenere sempre una matrice diagonale. Una matrice è diagonalizzabile se posso trovare una matrice $H$ tale che $HDH^{-1} = B$ ; per fare ciò è necessario che esista una base di autovettori, ovvero se e solo se la moltiplicità geometrica di ogni autospazio corrisponde a quella algebrica del suo autovalore, dove la moltiplicità geometrica è la dimensione del autospazio mentre la moltiplicità algebrica è il numero di volte che l'autovalore è soluzione di $p(t)$ .

Esercizio:

$$A = \begin{pmatrix}-10 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -10 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$

• Trovare gli autovalori e la loro moltiplicità algebrica $n$ .
• Trovare gli autospazi e la loro moltiplicità geometrica $m$ .

Soluzione:
Troviamo gli autovalori:

$$A_t = \begin{pmatrix}-10-t & 1 & 3 \\ 0 & 0-t & 0 \\ -10 & 1 & 3-t \end{pmatrix}$$

$$\det(A_t) = -t \det \begin{pmatrix}-10-t & 3 \\ -10 & 3-t \end{pmatrix}$$

$$= -t ((-10-t)(3-t)+30)$$

$$= -t ( t^2 + 7t )$$

$$= -t^2 ( t + 7 )$$

$-t^2(t+7)$ si annulla due volte per $t=0$ e una volta per $t=-7$ :
$\lambda_1 = 0$ , $n_1 = 2$
$\lambda_2 = -7$ , $n_2 = 1$

Troviamo gli autospazi:
autospazio $_{\lambda_1}$ :

$$\begin{pmatrix}-10 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -10 & 1 & 3 \end{pmatr... ...}x \\ y \\ z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\\ \end{pmatrix}\\ \\$$

$$\begin{cases}-10x + y +3z = 0 \\ 0 = 0 \\ -10x + y +3z = 0 \\... ...egin{cases}y = 10x-3z \\ x = \alpha \\ z = \beta \\ \end{cases}$$

Un suo vettore avrà quindi forma: $(\alpha, 10\alpha-3\beta, \beta)$
autospazio $_{\lambda_1} = < (1,10,0) , (0,-3,1) >$ e $m_1 = 2$ autospazio $_{\lambda_2}$ :

$$\begin{pmatrix}-10 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -10 & 1 & 3 \end{pmatr... ...y \\ z\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-7x \\ -7y \\ -7z\\ \end{pmatrix}\\ \\$$

$$\begin{cases}-10x + y +3z = -7x \\ 0 = -7y \\ -10x + y +3z = ... ...w \begin{cases}y = 0 \\ x = \alpha \\ z = \alpha \\ \end{cases}$$

Un suo vettore avrà quindi forma: $(\alpha, 0, \alpha)$
autospazio $_{\lambda_2} = < (1,0,1) >$ e $m_2 = 1$