Teorema di Rouché-Capelli

Un sistema di equazioni lineari:

$$\left\{ \begin{matrix}a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_... ...ts \\ a_{m,1}x_1 +a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n & = & b_m\end{matrix}\right.$$

può essere descritto tramite una matrice:

$$(A\vert b) = \left(\begin{matrix}a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \v... ...{matrix}\right\vert \left. \begin{matrix}b_1\\ \vdots \\ b_m\end{matrix}\right)$$

detta matrice associata al sistema; essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti e di un'ulteriore colonna detta colonna dei termini noti. Le matrici $A$ e $(A\vert b)$ sono dette rispettivamente incompleta (o dei coefficienti) e completa.

I coefficienti del sistema lineare (e quindi delle matrici) sono elementi di un campo $K$ , quale ad esempio quello dei numeri reali $\mathbb{R}$ o complessi $\mathbb{C}$ . Indichiamo con rk$(M)$ il rango di una matrice $M$ . L'enunciato del teorema di Rouché-Capelli è il seguente:

Esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta.

Se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di $K^n$ di dimensione $n-$rk$(A)$ . In particolare, se il campo $K$ è infinito abbiamo:

• se rk$(A) = n$ allora la soluzione è unica,
• altrimenti ci sono infinite soluzioni