Regola di Cramer

Un sistema di equazioni lineari può essere rappresentato usando la moltiplicazione fra matrici come:

$$Ax = c$$

dove $A$ è una matrice e $x, c$ sono due vettori. Se $A$ è una matrice quadrata (cioè il numero di incognite del sistema è pari al numero di equazioni) ed è anche invertibile, il teorema di Rouché-Capelli asserisce che il sistema ha esattamente una soluzione.

In questo caso, la regola di Cramer fornisce un algoritmo per calcolare la soluzione $(x_1,\ldots, x_n)$ usando il determinante nel modo seguente:

$$x_i = { \det(A_i) \over \det(A)}$$

dove $A_i$ è la matrice formata sostituendo la i-esima colonna di $A$ con il vettore $c$ . Notiamo che la condizione di invertibilità di $A$ garantisce che il denominatore $\det(A)$ sia diverso da zero, e quindi che l'espressione descritta abbia sempre senso.