Invertibilità

Una matrice quadrata $A_{n \times n}$ è detta invertibile se esiste una matrice $B_{n \times n}$ tale che: $AB = BA = I_{n}$ , $B$ è quindi univocamente determinata da $A$ ed è chiamata l'inversa di $A$ e indicata con $A^{-1}$ .
Si noti che, le seguenti definizioni sono equivalenti e caratterizzano una matrice $A$ invertibile:

• la matrice non è singolare, ossia il suo determinante non è nullo
• il suo rango è $n$
• le sue colonne sono linearmente indipendenti
• le sue righe sono linearmente indipendenti
• la matrice è trasformabile nella matrice identità o in una matrice con $n$ pivot

Interessante è anche il seguente teorema:
Sia $AX=B$ un sistema di equazioni lineari e sia $M$ una matrice invertibile. Allora i sistemi $(MA)X=MB$ e $AX=B$ sono equivalenti, cioè hanno le stesse soluzioni.
Inoltre, il prodotto di due matrici invertibili è anch'esso invertibile.